Comprendre les probabilités de loterie

La plupart des couvertures de loterie se concentrent sur le jackpot : sa taille, comment il y est arrivé, qui pourrait le remporter. C'est compréhensible — le jackpot est le nombre intéressant. Mais c'est aussi le nombre le moins informatif quand vous essayez de comprendre ce qu'est mathématiquement un ticket de loterie.

Pour penser clairement à toute loterie, il vous faut trois nombres : les probabilités de gagner le jackpot, les probabilités à chaque palier de prix en dessous, et l'espérance mathématique d'un ticket. Cet article parcourt chacun d'eux, avec des exemples concrets.

Probabilités du jackpot

Les probabilités du jackpot sont la probabilité qu'un seul ticket corresponde à tous les numéros requis pour le gros lot. Elles s'écrivent généralement « 1 sur X », où X est le nombre de combinaisons possibles.

La formule pour une loterie typique qui exige de faire correspondre N numéros parmi un ensemble de M est le coefficient binomial — C(M, N). Par exemple :

• Powerball (5 sur 69 boules blanches + 1 sur 26 rouges) : C(69, 5) × 26 = 292 201 338. Probabilités : 1 sur 292 millions.
• Mega Millions (5 sur 70 + 1 sur 25) : C(70, 5) × 25 = 302 575 350. Probabilités : 1 sur 302 millions.
• EuroMillions (5 sur 50 + 2 sur 12) : C(50, 5) × C(12, 2) = 139 838 160. Probabilités : 1 sur 139 millions.
• Lotto israélien (6 sur 37 + 1 sur 7) : C(37, 6) × 7 = 16 273 488. Probabilités : 1 sur 16 millions.

Ces nombres ne changent pas selon le nombre de joueurs, la taille du jackpot, ou les numéros qui sont sortis auparavant. Ce sont des propriétés fixes de la conception de la loterie.

Le problème d'échelle

Une probabilité de 1 sur 292 millions est véritablement difficile à se représenter. Quelques comparaisons qui aident :

• Il y a environ 330 millions d'habitants aux États-Unis. Choisir un Américain au hasard, à l'aveugle, a de moins bonnes chances de tomber sur une personne précise que de gagner au Powerball.
• Si vous lanciez une pièce équitable et obteniez 28 piles d'affilée, cette probabilité est à peu près la même que de gagner au Powerball. La plupart des gens ne verront jamais 28 piles d'affilée.
• Les coups de foudre sont parfois cités à 1 sur 700 000 par an. Gagner au Powerball est environ 400 fois moins probable que d'être frappé par la foudre dans une année donnée.

Ces comparaisons n'ont pas pour but de dissuader d'acheter des tickets — les gens achètent des tickets pour des raisons qui ne sont pas purement mathématiques, et c'est très bien. Mais elles replacent l'échelle de la probabilité du jackpot dans son contexte.

Les probabilités par palier, c'est là que ça se joue

En dessous du jackpot, la plupart des loteries ont plusieurs paliers de prix plus petits — pour 5 sur 6, 4 sur 6, 3 sur 6, et ainsi de suite. La probabilité d'atteindre ces paliers est bien plus élevée que celle du jackpot, mais les gains sont bien plus modestes.

Pour une loterie 6/49, probabilités approximatives par ticket :

• Faire les 6 : 1 sur 13 983 816
• Faire 5 : 1 sur 54 200 (approximativement)
• Faire 4 : 1 sur 1 032
• Faire 3 : 1 sur 57

« 1 sur 57 » est un nombre véritablement intéressant. Un joueur assidu achetant un ticket à chaque tirage peut s'attendre à un gain « 3 numéros » environ une fois tous les quelques mois. Les gains « 3 numéros » sont typiquement petits — parfois juste un ticket gratuit — mais assez fréquents pour donner l'impression que le jeu « répond », ce qui fait partie de ce qui rend les loteries si prenantes.

Comprendre la structure complète des paliers change la lecture des probabilités. Vous n'avez pas seulement 1 chance sur 14 millions de gagner quelque chose. Vous avez 1 chance sur 57 de gagner quelque chose de précis, et une chance bien plus petite de gagner quelque chose de gros.

Espérance mathématique

Le résumé honnête d'un ticket de loterie est son espérance mathématique (EV) : le montant moyen que vous gagneriez par ticket si vous jouiez indéfiniment. Pour chaque palier de prix, vous multipliez la probabilité de l'atteindre par le montant du gain. Faites la somme sur tous les paliers, et c'est votre EV.

Pour un ticket Powerball à 2 $ avec un jackpot de 100 millions, un calcul approximatif pourrait donner :

• Contribution du jackpot : 100 M$ × 1/292 M ≈ 0,34 $
• Tous les paliers inférieurs combinés : environ 0,30 $
• EV totale : ≈ 0,64 $

Si le ticket coûte 2 $, vous payez 2 $ pour quelque chose qui vaut 0,64 $ en moyenne. C'est un rendement attendu de −68 % par ticket.

Ce n'est pas un accident. Les loteries sont conçues pour avoir une espérance mathématique négative. Si elle était positive, l'opérateur perdrait de l'argent ; si elle était nulle, il ne pourrait pas financer les gains, les opérations et les programmes publics désignés que financent les recettes de loterie.

Quand les jackpots deviennent très gros

L'espérance mathématique n'est pas constante. Quand les jackpots sont reportés sans gagnant, le jackpot grossit, et l'EV par ticket augmente. C'est là que les choses deviennent intéressantes.

Pour un jackpot Powerball de, disons, 1,5 milliard, la contribution du jackpot à l'EV devient :

• 1,5 G$ × 1/292 M ≈ 5,14 $

Ajoutez les paliers inférieurs, et l'EV peut approcher ou dépasser le prix du ticket de 2 $. À ce moment-là, un ticket a une espérance mathématique positive, ce qui est une circonstance rare et précise. Certains joueurs avertis de théorie des jeux n'achètent de tickets que pendant les méga-reports pour cette raison.

Il y a toutefois un hic. Les gros jackpots attirent beaucoup de joueurs, ce qui augmente la probabilité que plusieurs gagnants se partagent la cagnotte. Un jackpot qui paraît à EV positive sur le papier ne l'est souvent plus une fois pris en compte le partage attendu — c'est là qu'intervient l'effet « plus de joueurs, plus mauvais résultat ».

Version honnête : les très gros jackpots sont les seuls scénarios où un ticket peut avoir une EV positive, et même alors cela dépend fortement de la participation.

Rente contre capital

La plupart des jackpots américains sont annoncés en valeur de rente : le montant total si vous prenez le prix en 30 annuités. Le versement en capital — ce que vous touchez réellement si vous prenez tout d'un coup — est typiquement de 50 à 60 % du montant annoncé.

Un jackpot annoncé à 1 milliard équivaut généralement à un capital de 550 à 600 millions. Pour les calculs d'EV, il faut utiliser le capital, pas le nombre annoncé. La plupart des plateformes qui citent l'EV sautent cet ajustement, ce qui fait paraître le ticket environ deux fois meilleur qu'il ne l'est.

Les impôts suivent. Les gains de loterie américains sont soumis à l'impôt fédéral (souvent 24 % retenus à la source, avec complément dû au moment de la déclaration) et généralement à l'impôt d'État. Pour un capital de 600 millions, le net après impôts peut tourner autour de 350 à 400 millions. Une somme énorme, certes — mais l'écart entre 1 milliard affiché et 400 millions net est un coup significatif à l'EV.

Pourquoi les probabilités par palier reçoivent plus d'attention que celles du jackpot

Si vous lisez suffisamment de couverture de loterie, vous remarquerez que les commentaires sérieux s'attardent sur les probabilités par palier et l'EV, tandis que la couverture grand public se concentre sur le jackpot. Ce n'est pas un hasard. Le jackpot est le chiffre d'accroche ; les probabilités par palier et l'EV sont les chiffres analytiques.

Pour qui essaie de comprendre la loterie comme objet mathématique, les chiffres analytiques sont ceux qui comptent. Pour qui cherche à vendre des tickets ou à générer de l'engagement, c'est le jackpot. Les deux perspectives sont légitimes — elles répondent simplement à des questions différentes.

Comment lire une loterie à partir de ses probabilités

Une fois que vous avez les trois nombres — probabilités du jackpot, probabilités par palier, EV — une loterie devient bien plus facile à évaluer. Quelques questions à se poser :

• La contribution du jackpot à l'EV correspond-elle au battage ? Pour un « énorme » jackpot qui n'ajoute que 0,20 $ d'EV à un ticket à 2 $, le battage est plus grand que l'économie sous-jacente.
• Les gains par palier sont-ils raisonnables ? Certaines loteries concentrent l'essentiel de la cagnotte dans le jackpot, rendant les paliers inférieurs presque sans valeur. D'autres répartissent plus uniformément. Aucune n'est « fausse », mais ce sont des produits différents.
• Le nombre annoncé est-il une rente ou un capital ? Si vous ne pouvez pas le dire, supposez la rente et retranchez 40 % pour obtenir le net réel.

Avec ces questions en main, vous pouvez comparer directement les loteries. Une loterie avec des probabilités de jackpot à 1 sur 14 millions et une distribution de paliers raisonnable est mathématiquement un produit très différent d'une loterie avec des probabilités à 1 sur 292 millions et des gains par palier quasi symboliques.

En résumé

Les probabilités de loterie ne sont pas un seul nombre — c'est un système de nombres, et les probabilités de jackpot vedettes sont généralement les moins utiles. Les probabilités par palier vous disent à quelle fréquence le jeu vous récompense, quelle que soit la somme. L'espérance mathématique vous dit ce que vaut réellement un ticket en moyenne. Rente contre capital vous dit si le jackpot annoncé est le chiffre réel.

Une fois que vous voyez le tableau complet, la loterie cesse d'être mystérieuse. C'est un produit financier clairement conçu, avec une EV, une structure de paliers et un mécanisme de jackpot précis. Vous pouvez l'aimer ou non, y jouer ou non — mais vous le ferez en connaissance de cause, plutôt qu'en réaction à un titre.