Capire le probabilità della lotteria

La maggior parte della copertura mediatica della lotteria si concentra sul jackpot: quanto è grande, come è arrivato lì, chi potrebbe vincerlo. È comprensibile — il jackpot è il numero interessante. Ma è anche il numero meno informativo quando stai cercando di capire cosa sia davvero, matematicamente, un biglietto della lotteria.

Per ragionare con chiarezza su qualsiasi lotteria ti servono tre numeri: le probabilità di vincere il jackpot, le probabilità a ciascun tier di premio sotto di esso e il valore atteso di un biglietto. Questo articolo esamina ciascuno, con esempi reali.

Probabilità del jackpot

Le probabilità del jackpot sono la probabilità che un singolo biglietto azzecchi tutti i numeri richiesti per il premio massimo. Di solito si scrivono come "1 su X", dove X è il numero di combinazioni possibili.

La formula per una tipica lotteria che richiede di indovinare N numeri da un insieme di M è il coefficiente binomiale — C(M, N). Per esempio:

Powerball (5 su 69 palline bianche + 1 su 26 rosse): C(69, 5) × 26 = 292.201.338. Probabilità: 1 su 292 milioni.
Mega Millions (5 su 70 + 1 su 25): C(70, 5) × 25 = 302.575.350. Probabilità: 1 su 302 milioni.
EuroMillions (5 su 50 + 2 su 12): C(50, 5) × C(12, 2) = 139.838.160. Probabilità: 1 su 139 milioni.
Lotto israeliano (6 su 37 + 1 su 7): C(37, 6) × 7 = 16.273.488. Probabilità: 1 su 16 milioni.

Questi numeri non cambiano in base a quante persone giocano, a quanto è grande il jackpot o a quali numeri siano usciti in passato. Sono proprietà fisse del design della lotteria.

Il problema della scala

Una probabilità di 1 su 292 milioni è genuinamente difficile da afferrare con l'intuito. Alcuni confronti che aiutano:

Gli Stati Uniti hanno circa 330 milioni di abitanti. Puntare a caso a una persona americana a caso ha probabilità peggiori di colpire una specifica persona rispetto alla vittoria di Powerball.
Se lanciassi una moneta equa e ottenessi testa 28 volte di fila, quella probabilità è circa la stessa di vincere al Powerball. La maggior parte delle persone non assisterà mai a 28 teste di fila.
I fulmini a volte vengono stimati a 1 su 700.000 all'anno. Vincere al Powerball è circa 400 volte meno probabile che essere colpiti da un fulmine in un dato anno.

Questi confronti non vogliono scoraggiare l'acquisto dei biglietti — le persone comprano biglietti per ragioni che non sono puramente matematiche, e va bene così. Ma collocano in contesto la scala della probabilità del jackpot.

Le probabilità dei tier sono dove succede davvero qualcosa

Sotto il jackpot, la maggior parte delle lotterie ha diversi tier di premio minori — per aver indovinato 5 su 6, 4 su 6, 3 su 6 e così via. La probabilità di colpire questi tier è molto più alta di quella del jackpot, ma i premi sono molto più piccoli.

Per una lotteria 6/49, probabilità approssimative per biglietto:

Azzecca tutti e 6: 1 su 13.983.816
Azzecca 5: 1 su 54.200 (circa)
Azzecca 4: 1 su 1.032
Azzecca 3: 1 su 57

"1 su 57" è un numero davvero interessante. Un giocatore assiduo che compri un biglietto a ogni estrazione si aspetterebbe un premio per 3 indovinati all'incirca una volta ogni pochi mesi. I premi "3 indovinati" sono tipicamente piccoli — a volte solo un biglietto gratuito — ma abbastanza frequenti da dare la sensazione che il gioco "risponda", il che è parte del motivo per cui le lotterie sono così coinvolgenti.

Capire l'intera struttura dei tier cambia il modo in cui si leggono le probabilità. Non hai solo 1 possibilità su 14 milioni di vincere qualcosa. Hai 1 possibilità su 57 di vincere qualcosa di specifico, e una possibilità molto più piccola di vincere qualcosa di grande.

Valore atteso

La sintesi onesta di un biglietto della lotteria è il suo valore atteso (EV): l'importo medio che vinceresti per biglietto se giocassi per sempre. Per ciascun tier di premio, moltiplichi la probabilità di colpirlo per l'importo del premio. Sommi su tutti i tier, e quello è il tuo EV.

Per un biglietto Powerball da $2 con un jackpot da $100 milioni, un calcolo approssimativo potrebbe essere:

Contributo del jackpot: $100M × 1/292M ≈ $0,34
Tutti i tier inferiori combinati: circa $0,30
EV totale: ≈ $0,64

Se il biglietto costa $2, stai pagando $2 per qualcosa che vale $0,64 in media. Si tratta di un rendimento atteso del -68% per biglietto.

Non è un caso. Le lotterie sono progettate per avere valore atteso negativo. Se avessero EV positivo, l'operatore perderebbe denaro; se avessero EV zero, non potrebbero finanziare premi, operazioni e i programmi pubblici designati che le entrate della lotteria sostengono.

Quando i jackpot diventano molto grandi

Il valore atteso non è costante. Mentre i jackpot si accumulano senza vincitore, il jackpot cresce e l'EV per biglietto sale. Qui le cose diventano interessanti.

Per un jackpot Powerball di, diciamo, $1,5 miliardi, il contributo del jackpot all'EV diventa:

$1,5B × 1/292M ≈ $5,14

Aggiungi i tier inferiori e l'EV potrebbe avvicinarsi o superare il prezzo di $2 del biglietto. A quel punto un biglietto ha valore atteso positivo, circostanza rara e specifica. Alcuni giocatori con sensibilità da teoria dei giochi comprano biglietti solo durante i mega-rollover proprio per questa ragione.

C'è però un'insidia. I jackpot grandi attraggono molti giocatori, il che aumenta la possibilità di più vincitori che si dividono il montepremi. Un jackpot che sulla carta sembra avere EV positivo spesso non lo è più una volta considerata la spartizione attesa — è qui che entra in gioco l'effetto "più giocatori significa esito peggiore".

La versione onesta: i jackpot molto grandi sono gli unici scenari in cui un biglietto potrebbe avere EV positivo, e anche lì dipende fortemente dalla partecipazione.

Rendita vs. somma unica

La maggior parte dei jackpot USA è pubblicizzata come valore della rendita: l'importo totale se prendi il premio come 30 pagamenti annuali. La somma unica — quello che realmente ottieni se prendi tutto in una volta — è tipicamente il 50–60% dell'importo pubblicizzato.

Un jackpot pubblicizzato di $1 miliardo è di solito una somma unica di $550–600 milioni. Per i calcoli dell'EV dovresti usare la somma unica, non il numero pubblicizzato. La maggior parte delle piattaforme che citano l'EV salta questa correzione, facendo apparire il biglietto migliore di quanto sia, circa di un fattore due.

Le tasse seguono. Le vincite della lotteria USA sono soggette a imposta federale (spesso 24% trattenuto, con ulteriori importi dovuti al momento della dichiarazione) e di solito a imposta statale. Per una somma unica di $600 milioni, l'importo netto dopo le tasse potrebbe essere di $350–400 milioni. È comunque un importo enorme — ma il divario da $1 miliardo a $400 milioni è un colpo significativo all'EV.

Perché le probabilità dei tier ricevono più attenzione di quelle del jackpot

Se leggi abbastanza copertura della lotteria, noterai che i commenti seri si soffermano sulle probabilità dei tier e sull'EV, mentre la copertura casual si concentra sul jackpot. Non è un caso. Il jackpot è il numero-titolo; le probabilità dei tier e l'EV sono i numeri analitici.

Per chi cerca di capire la lotteria come oggetto matematico, contano i numeri analitici. Per chi cerca di vendere biglietti o generare engagement, conta il jackpot. Entrambe le prospettive sono legittime — rispondono semplicemente a domande diverse.

Come leggere una lotteria dalle sue probabilità

Una volta che hai i tre numeri — probabilità del jackpot, probabilità dei tier, EV — una lotteria diventa molto più semplice da valutare. Alcune domande da farsi:

Il contributo del jackpot all'EV corrisponde all'enfasi mediatica? Per un jackpot "enorme" che aggiunge solo $0,20 di EV a un biglietto da $2, il clamore è più grande dell'economia sottostante.
I premi dei tier sono ragionevoli? Alcune lotterie caricano la maggior parte del montepremi nel jackpot, rendendo i tier inferiori quasi inutili. Altre distribuiscono in modo più uniforme. Nessuno dei due è "sbagliato", ma sono prodotti diversi.
Il numero pubblicizzato è una rendita o una somma unica? Se non si capisce, assumi rendita e taglia del 40% per il netto reale.

Con queste domande in mano, puoi confrontare direttamente le lotterie. Una lotteria con probabilità di jackpot 1 su 14 milioni e una distribuzione dei tier ragionevole è matematicamente un prodotto molto diverso da una con probabilità 1 su 292 milioni e premi dei tier quasi simbolici.

In sintesi

Le probabilità della lotteria non sono un unico numero — sono un sistema di numeri, e le probabilità del jackpot titolate sono di solito il meno utile. Le probabilità dei tier ti dicono quanto spesso il gioco ti ricompensa in generale. Il valore atteso ti dice quanto vale davvero un biglietto, in media. Rendita vs. somma unica ti dice se il jackpot pubblicizzato è il numero reale.

Una volta che vedi il quadro completo, la lotteria smette di essere misteriosa. È un prodotto finanziario chiaramente progettato con un EV specifico, una struttura di tier e un meccanismo di jackpot. Puoi apprezzarlo o no, giocarlo o no — ma prenderai una decisione informata, invece di reagire a un titolo.